Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a sequência
, identificando se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é estudo de convergência de sequências reais, e vamos usar o fato de que o cosseno é limitado e o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).
Passo 2
Primeiro, lembramos que para todo real
vale
. Aplicando isso em
, fica:
Então subtraindo de 1 temos:
Agora dividimos a desigualdade por
, obtendo limites para
:
Passo 3
Observamos que a sequência
é geométrica de razão
, e sabemos que
.
Como para todo
e
, o Teorema do Confronto garante que
.
Portanto, a sequência converge, e seu limite é zero.
Como
Portanto, a sequência converge, e seu limite é zero.
Resposta
A sequência converge e tem limite 0.