Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes:
1-cos (2^n)2^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência an = 1 - cos(2^n)2^n, identificando se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é estudo de convergência de sequências reais, e vamos usar o fato de que o cosseno é limitado e o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Primeiro, lembramos que para todo real x vale -1 <= cos(x) <= 1. Aplicando isso em x = 2^n, fica:
-1 <= cos(2^n) <= 1
Então subtraindo de 1 temos:
0 <= 1 - cos(2^n) <= 2
Agora dividimos a desigualdade por 2^n>0, obtendo limites para an:
0 <= 1 - cos(2^n)2^n <= 22^n

Passo 3

Observamos que a sequência bn = 22^n = 2cdot 2^-n é geométrica de razão tfrac12, e sabemos que limntoinfty bn = 0.
Como 0 <= an <= bn para todo n e bn to 0, o Teorema do Confronto garante que an to 0.
Portanto, a sequência converge, e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e tem limite 0.

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