Classifique as sequências abaixo em crescentes, decrescentes, não-crescentes, não-decrescentes ou nenhuma das anteriores:
c_{n}=(-1)^{n}

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a sequência \bigl(c_{n}\bigr) definida por
c_{n}=(-1)^{n}
quanto à monotonicidade. Vamos usar os conceitos de sequência crescente (estritamente), decrescente (estritamente), não-decrescente e não-crescente.

Passo 2

Vamos listar alguns termos de \bigl(c_{n}\bigr):
c_{1}=(-1)^{1}=-1,\quad c_{2}=(-1)^{2}=1,\quad c_{3}=-1,\quad c_{4}=1,\;\dots
Então a sequência é
-1,\,1,\,-1,\,1,\,-1,\,1,\dots
ela “oscila” entre -1 e 1.

Passo 3

Para ser não-decrescente precisaríamos que
c_{n+1}\ge c_{n}\quad\forall n.
Mas de c_{2}=1 para c_{3}=-1 temos c_{3}<c_{2}, violando não-decrescente. Logo não é crescente nem não-decrescente.

Passo 4

Para ser não-crescente precisaríamos que
c_{n+1}\le c_{n}\quad\forall n.
Mas de c_{1}=-1 para c_{2}=1 temos c_{2}>c_{1}, violando não-crescente. Logo não é decrescente nem não-crescente.

Resposta

A sequência não é crescente, nem decrescente, nem não-crescente, nem não-decrescente; portanto, nenhuma das anteriores.

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