Verifique se as sequências são limitadas, limitadas superiormente ou limitadas inferiormente.
a_{n}=\sin (n)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência \displaystyle a_{n}=\sin(n), n\in\mathbb{N},
é limitada, limitada superiormente ou limitada inferiormente. Vamos recorrer à definição de sequência limitada e ao fato básico sobre a função seno em \mathbb{R}.

Passo 2

Uma sequência \bigl(a_{n}\bigr) é
– limitada superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que a_{n}\le M para todo n,
– limitada inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que a_{n}\ge m para todo n,
– limitada se for ao mesmo tempo limitada superiormente e limitada inferiormente, isto é, se existir M>0 com \lvert a_{n}\rvert\le M para todo n.

Passo 3

Sabemos que, para todo x\in\mathbb{R}, vale
-1 \;\le\;\sin(x)\;\le\;1.
Em particular, para x=n inteiro any, temos
-1 \;\le\;\sin(n)\;\le\;1.

Passo 4

Da desigualdade acima segue que \sin(n)\le 1 para todo n, logo a sequência é limitada superiormente (por M=1), e \sin(n)\ge -1 para todo n, logo é limitada inferiormente (por m=-1). Assim, existe M=1 tal que \lvert \sin(n)\rvert\le1 para todo n, mostrando que a sequência é limitada.

Resposta

A sequência a_{n}=\sin(n) é limitada, isto é, é limitada superiormente (por 1) e limitada inferiormente (por -1).

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