Verifique se as sequências são limitadas, limitadas superiormente ou limitadas inferiormente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
,
,
é limitada, limitada superiormente ou limitada inferiormente. Vamos recorrer à definição de sequência limitada e ao fato básico sobre a função seno em .
é limitada, limitada superiormente ou limitada inferiormente. Vamos recorrer à definição de sequência limitada e ao fato básico sobre a função seno em
Passo 2
Uma sequência
é
– limitada superiormente se existe tal que
para todo
,
– limitada inferiormente se existe tal que
para todo
,
– limitada se for ao mesmo tempo limitada superiormente e limitada inferiormente, isto é, se existir com
para todo
.
– limitada superiormente se existe
– limitada inferiormente se existe
– limitada se for ao mesmo tempo limitada superiormente e limitada inferiormente, isto é, se existir
Passo 3
Sabemos que, para todo
, vale
Em particular, para
inteiro any, temos
Passo 4
Da desigualdade acima segue que
para todo
, logo a sequência é limitada superiormente (por
), e
para todo
, logo é limitada inferiormente (por
). Assim, existe
tal que
para todo
, mostrando que a sequência é limitada.
Resposta
A sequência
é limitada, isto é, é limitada superiormente (por
) e limitada inferiormente (por
).