Verifique se as sequências são limitadas, limitadas superiormente ou limitadas inferiormente.
a_{n}=\ln (n).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência a_{n}=\ln(n) é limitada, ou seja, se existe algum número real M tal que |\ln(n)|\le M para todo n. Precisamos também analisar se ela é limitada superiormente (existe M com \ln(n)\le M para todo n) e limitada inferiormente (existe m com m\le \ln(n) para todo n).

Passo 2

Estudando o comportamento para n\to\infty: a função \ln(x) cresce sem parar, isto é,
\lim_{n\to\infty}\ln(n)=+\infty.
Isso significa que, dado qualquer número real M, existe N tal que para todo n\ge N vale \ln(n)>M. Logo, não existe um M que funcione como limite superior para todos os termos, ou seja, a sequência não é limitada superiormente.

Passo 3

Agora, para o limite inferior: como n varia sobre os naturais começando em 1, o menor valor de \ln(n) ocorre em n=1, pois \ln(x) é crescente. E
\ln(1)=0,
então para todo n\ge1 temos \ln(n)\ge0. Portanto, podemos escolher m=0 e garantir que m\le\ln(n) para todo n. Logo, a sequência é limitada inferiormente.

Passo 4

Concluindo:
  • Não há limite superior finito para \ln(n), então não é limitada superiormente.
  • Existe limite inferior 0, então é limitada inferiormente.
  • Para ser totalmente limitada seria preciso ser limitada tanto superiormente quanto inferiormente; como falta o limite superior, a sequência não é limitada.

Resposta

A sequência a_{n}=\ln(n) é limitada inferiormente (por 0), não é limitada superiormente e, portanto, não é limitada.

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