Verifique se as sequências são limitadas, limitadas superiormente ou limitadas inferiormente.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é limitada, ou seja, se existe algum número real
tal que
para todo
. Precisamos também analisar se ela é limitada superiormente (existe
com
para todo
) e limitada inferiormente (existe
com
para todo
).
Passo 2
Estudando o comportamento para
: a função
cresce sem parar, isto é,
Isso significa que, dado qualquer número real
, existe
tal que para todo
vale
. Logo, não existe um
que funcione como limite superior para todos os termos, ou seja, a sequência não é limitada superiormente.
Passo 3
Agora, para o limite inferior: como
varia sobre os naturais começando em
, o menor valor de
ocorre em
, pois
é crescente. E
então para todo
temos
. Portanto, podemos escolher
e garantir que
para todo
. Logo, a sequência é limitada inferiormente.
Passo 4
Concluindo:
- Não há limite superior finito para
, então não é limitada superiormente. - Existe limite inferior
, então é limitada inferiormente. - Para ser totalmente limitada seria preciso ser limitada tanto superiormente quanto inferiormente; como falta o limite superior, a sequência não é limitada.
Resposta
A sequência
é limitada inferiormente (por
), não é limitada superiormente e, portanto, não é limitada.