Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por:
a_{n}=n e^{-n / 2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n} = n\,e^{-n/2}
é monótona e se é limitada. O conteúdo envolve análise de monotonicidade de sequências (usando razão entre termos) e estudo de limites e cotas para verificar se há limites superior e inferior.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)e^{-(n+1)/2}}{n\,e^{-n/2}} = \frac{n+1}{n}\,e^{-1/2} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)e^{-1/2}.
A sequência é crescente se e somente se \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\ge1, isto é,
\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)e^{-1/2}\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad 1+\frac{1}{n}\ge e^{1/2}.
Como e^{1/2}\approx1,6487, a desigualdade só se satisfaz para n=1. Logo, a_2>a_1, mas para todo n\ge2 tem-se
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\Bigl(1+\frac1n\Bigr)e^{-1/2}<1
implicando a_{n+1}<a_n. Concluímos que a sequência NÃO é monotonicamente crescente nem decrescente em todo n; ela cresce de n=1 para n=2 e decresce para todo n\ge2.

Passo 3

Para verificar se é limitada, observamos que para todo n vale a_n>0, logo há limite inferior 0. Além disso, como a sequência decresce a partir de n=2, o maior valor ocorre em n=2:
a_2 = 2e^{-1}\approx0,7358.
Também notamos que
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty} n\,e^{-n/2} = 0,
pois e^{n/2} cresce mais rápido que n. Logo 0<a_n\le2e^{-1} para todo n, e a sequência é limitada superiormente por 2e^{-1} e inferiormente por 0.

Resposta

A sequência a_{n}=n\,e^{-n/2} não é monótona (cresce de n=1 para n=2 e decresce para n\ge2), mas é limitada, com
0 < a_n \le 2e^{-1}.

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