Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com
-ésimo termo dado por:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é monótona e se é limitada. O conteúdo envolve análise de monotonicidade de sequências (usando razão entre termos) e estudo de limites e cotas para verificar se há limites superior e inferior.
Passo 2
Para estudar a monotonicidade, calculamos a razão
A sequência é crescente se e somente se
, isto é,
Como
, a desigualdade só se satisfaz para
. Logo,
, mas para todo
tem-se
implicando
. Concluímos que a sequência NÃO é monotonicamente crescente nem decrescente em todo
; ela cresce de
para
e decresce para todo
.
Passo 3
Para verificar se é limitada, observamos que para todo
vale
, logo há limite inferior 0. Além disso, como a sequência decresce a partir de
, o maior valor ocorre em
:
Também notamos que
pois
cresce mais rápido que
. Logo
para todo
, e a sequência é limitada superiormente por
e inferiormente por 0.
Resposta
A sequência
não é monótona (cresce de
para
e decresce para
), mas é limitada, com