Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por: a_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência \displaystyle a_{n}=\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}
e pede para checar (i) se ela é monótona e (ii) se ela é limitada. Para isso, vamos usar a definição de sequência monótona (crescente ou decrescente) e a definição de sequência limitada (existe M>0 tal que \lvert a_n\rvert\le M para todo n).
Passo 2
Para verificar a monotonicidade, olhamos a razão entre termos consecutivos: \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n+1}}{\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}} = -\tfrac{2}{3}.
Como esse quociente é negativo, a_{n+1} e a_n têm sinais opostos em todo n. Num dia o termo é negativo, no outro positivo, logo não se satisfaz nem a_{n+1}\ge a_n para todo n (crescente) nem a_{n+1}\le a_n para todo n (decrescente). Concluímos que a sequência não é monótona.
Passo 3
Para checar a limitação, observamos o valor absoluto: \displaystyle |a_n| = \Bigl|\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\Bigr| = \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}.
Como 0<\tfrac{2}{3}<1, a sequência \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n} é decrescente e tende a zero, de modo que existe M=1 em que
0 \le |a_n| \le 1
para todo n. Assim, -1\le a_n\le1 e a sequência é limitada.
Resposta
A sequência a_{n}=\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n} não é monótona e é limitada.