Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por:
a_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a monotonicidade e a limitação da sequência cujo termo geral é
a_{n} = \left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
O conteúdo envolve definição de sequência geométrica, teste de razão para monotonicidade e comparação para limites superior e inferior.

Passo 2

Para estudar a monotonicidade, calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n+1}}{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}} = \frac{2}{3}.
Como \tfrac{2}{3}<1, conclui-se que a_{n+1}<a_{n} para todo n. Portanto, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Para verificar se a sequência é limitada, note que para todo n\ge1 vale
\left(\frac{2}{3}\right)^{n}>0 \quad\text{e}\quad \left(\frac{2}{3}\right)^{n}\le1,
pois a potência de uma base no intervalo (0,1) está entre 0 e 1. Logo, existe um limite inferior 0 e um limite superior 1, ou seja, a sequência é limitada.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) é estritamente decrescente e limitada (por 0 e por 1).

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