Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com
-ésimo termo dado por:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com
e pede para verificar se ela é monótona (cresce ou decresce) e se é limitada (existe algum valor que sirva de limite superior ou inferior). Vamos usar as definições de sequência monótona e de sequência limitada.
Passo 2
Para checar monotonia, comparamos
com
. Temos
logo
Como
para todo
, o termo acima é sempre positivo. Portanto
e a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Para verificar se é limitada, lembramos que uma sequência
é limitada se existe
tal que
para todo
. Aqui
e cresce sem parar porque a razão
. De fato
logo não existe limite superior finito
. Por outro lado, todos os termos são positivos, então existe limite inferior (por exemplo
), mas não existe limite superior.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente e não é limitada (embora seja limitada inferiormente, não admite limite superior finito).