Verifique se as sequências a seguir são monótonas e/ou limitadas com n-ésimo termo dado por:
a_{n}=\left(\frac{3}{2}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} com
a_n = \biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{n},
e pede para verificar se ela é monótona (cresce ou decresce) e se é limitada (existe algum valor que sirva de limite superior ou inferior). Vamos usar as definições de sequência monótona e de sequência limitada.

Passo 2

Para checar monotonia, comparamos a_{n+1} com a_n. Temos
a_{n+1} = \biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{n+1} = \biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{n}\cdot\frac{3}{2}
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a_{n+1}-a_n =\biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{n}\!\Bigl(\frac{3}{2}-1\Bigr) =\biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{n}\cdot\frac{1}{2}.
Como \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{n}>0 para todo n, o termo acima é sempre positivo. Portanto
a_{n+1}-a_n>0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+1}>a_n
e a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Para verificar se é limitada, lembramos que uma sequência \{a_n\} é limitada se existe M>0 tal que \lvert a_n\rvert\le M para todo n. Aqui a_n>0 e cresce sem parar porque a razão \tfrac32>1. De fato
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{n} =\infty,
logo não existe limite superior finito M. Por outro lado, todos os termos são positivos, então existe limite inferior (por exemplo 0), mas não existe limite superior.

Resposta

A sequência \bigl(\tfrac32\bigr)^n é estritamente crescente e não é limitada (embora seja limitada inferiormente, não admite limite superior finito).

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