Verifique se a série abaixo é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(n!2^nn^n)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^+inftyn!,2^nn^n é convergente ou divergente. O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas e vamos precisar do teste da razão (ou do teste da raiz) para comparar o comportamento do termo geral quando ntoinfty.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Definindo an=n!,2^nn^n, calculamos
an+1an = (n+1)!,2^n+1/(n+1)^n+1n!,2^n/n^n = (n+1)cdot2cdotn^n(n+1)^n+1 =2n^n(n+1)^n =2l(nn+1r)^n
Agora note que l(tfracnn+1r)^n=l(1-tfrac1n+1r)^nto e^-1 quando ntoinfty. Portanto
limntoinftyan+1an=2e^-1=2e

Passo 3

Como 2e<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Logo, a soma sumn=1^+inftyn!,2^nn^n é convergente.

Resposta

A série é convergente (convergência absoluta pelo teste da razão, pois o limite da razão é 2/e<1).

Exercícios relacionados