Verifique se a série abaixo é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 12 n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^+infty 12n^2+n é convergente ou divergente. Isso envolve testar convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o teste de comparação (ou comparação limite) com uma série-p conhecida.

Passo 2

Note que para n muito grande o termo de geral an=12n^2+n se comporta como 12n^2, pois 2n^2+nsim2n^2. Então faz sentido comparar com a série-p sum1n^2, que sabemos ser convergente (pois o expoente p=2>1).

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite entre an e bn=1n^2. Calculemos o limite
L=limntoinftyanbn=limntoinfty1/(2n^2+n)1/n^2=limntoinftyn^22n^2+n=12

Passo 4

Como 0 e a série sum bn=sum1/n^2 é convergente, concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty12n^2+n é convergente.

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