Verifique se a série sumn=1^+infty 1[ln (n+1)]^n é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^+infty1[ln(n+1)]^n
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries de termos positivos e vamos usar o teste da raiz.

Passo 2

O teste da raiz afirma que, para uma série de termos não negativos sum an, se
L = limsupntoinfty raiz[n]an,
então
- se L<1, a série converge absolutamente;
- se L>1, a série diverge;
- se L=1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

No nosso caso, o termo geral é an = 1/[ln(n+1)]^n. Aplicando o teste da raiz, temos
raiz[n]an = raiz[n]1[ln(n+1)]^n = 1ln(n+1)

Passo 4

Agora calculamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty 1ln(n+1) = 0
Como esse limite é menor que 1, obtemos L=0<1.

Passo 5

Pelo teste da raiz, como L<1, a série converge absolutamente e, portanto, é convergente.

Resposta

A série converge (converge absolutamente pelo critério da raiz).

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