Verifique se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informação dada e elemento-chave:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos para
.
O objetivo é decidir convergência ou divergência da soma infinita desses termos.
Passo 2
Vamos escolher um teste adequado. Observando
há uma expressão elevada a
(ou seja, algo na forma
). Nesses casos o Teste da raiz (ou teste da raiz
-ésima) costuma ser o mais direto. Vou explicar o teste antes de aplicá‑lo.
O Teste da raiz diz o seguinte (versão prática para termos não-negativos): se
existe, então
- se
a série converge absolutamente; - se
a série diverge; - se
o teste é inconclusivo.
A ideia intuitiva é quemede a “taxa geométrica” de crescimento de : se essa taxa for menor que o termo cai rápido o suficiente, se for maior que o termo não tende a zero.
Passo 3
Calcular a raiz
-ésima do termo geral. Temos
Agora calculamos o limite quando
. Para isso simplifico a fração dividindo numerador e denominador por
:
Como
e
, segue
Portanto
Passo 4
Avaliar
. Sabendo que
(mais precisamente
), temos
Pelo Teste da raiz, se
a série diverge. Uma observação adicional e útil na prova: se
então
não tende a zero (de fato cresce geometricamente), e uma série cujos termos não tendem a zero não pode convergir.
Passo 5
Conclusão clara e direta: como o limite da raiz
-ésima é maior que
, a série diverge. Mantém a calma — esse tipo de série com potência
no termo é justamente o caso típico em que o teste da raiz resolve rapidinho.
Resposta
A série diverge.