Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} e^{2 n}\left(\frac{2 n-1}{n+13}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{2 n}\left(\frac{2 n-1}{n+13}\right)^{n}
converge ou diverge. Informação dada e elemento-chave:
  • O termo geral é \displaystyle a_n = e^{2 n}\left(\frac{2 n-1}{n+13}\right)^{n}.
  • Todos os termos são positivos para n\ge1.
    O objetivo é decidir convergência ou divergência da soma infinita desses termos.

Passo 2

Vamos escolher um teste adequado. Observando \displaystyle a_n há uma expressão elevada a n (ou seja, algo na forma (\cdot)^{n}). Nesses casos o Teste da raiz (ou teste da raiz n-ésima) costuma ser o mais direto. Vou explicar o teste antes de aplicá‑lo.
O Teste da raiz diz o seguinte (versão prática para termos não-negativos): se
L=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}
existe, então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
    A ideia intuitiva é que \sqrt[n]{a_n} mede a “taxa geométrica” de crescimento de a_n: se essa taxa for menor que 1 o termo cai rápido o suficiente, se for maior que 1 o termo não tende a zero.

Passo 3

Calcular a raiz n-ésima do termo geral. Temos
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{e^{2n}\left(\frac{2 n-1}{n+13}\right)^{n}} = e^{2}\cdot\frac{2 n-1}{n+13}.
Agora calculamos o limite quando n\to\infty. Para isso simplifico a fração dividindo numerador e denominador por n:
\frac{2 n-1}{n+13}=\frac{2-\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{13}{n}}.
Como \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{13}{n}\to0, segue
\lim_{n\to\infty}\frac{2 n-1}{n+13}=2.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=e^{2}\cdot 2=2e^{2}.

Passo 4

Avaliar L. Sabendo que e^{2}>1 (mais precisamente e^{2}\approx 7{,}389), temos
L=2e^{2}\approx 14{,}78>1.
Pelo Teste da raiz, se L>1 a série diverge. Uma observação adicional e útil na prova: se \sqrt[n]{a_n}\to L>1 então a_n não tende a zero (de fato cresce geometricamente), e uma série cujos termos não tendem a zero não pode convergir.

Passo 5

Conclusão clara e direta: como o limite da raiz n-ésima é maior que 1, a série diverge. Mantém a calma — esse tipo de série com potência n no termo é justamente o caso típico em que o teste da raiz resolve rapidinho.

Resposta

A série diverge.

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