Verifique se a série converge ou diverge. Para a série convergente ache a sua soma.
Passo 1
A série que temos é
. O objetivo é verificar se ela converge e, caso positivo, achar sua soma. Vamos usar frações parciais e o truque de soma telescópica para isso.
Passo 2
Começamos decompondo o termo geral em frações parciais: queremos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Escolhendo
dá
então
, e escolhendo
dá
então
. Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Para ver o telescópio, escrevemos os primeiros termos:
Note que aparecem
com sinais opostos e se cancelam. Sobram do primeiro grupo
e do segundo
. Assim
Passo 4
Para concluir, observamos que ao deixar
os termos
e
vão a zero. Logo
. Pelo critério de soma de séries, isso mostra que a série converge e sua soma é
.