Verifique se a série converge ou diverge. Para a série convergente ache a sua soma.
sumn=0^infty 1(n+2)(n+4)

Passo 1

A série que temos é sumn=0^infty 1(n+2)(n+4). O objetivo é verificar se ela converge e, caso positivo, achar sua soma. Vamos usar frações parciais e o truque de soma telescópica para isso.

Passo 2

Começamos decompondo o termo geral em frações parciais: queremos constantes A e B tais que
1(n+2)(n+4)=An+2+Bn+4
Multiplicando ambos os lados por (n+2)(n+4), obtemos
1=A(n+4)+B(n+2)
Escolhendo n=-2 1=2A então A=tfrac12, e escolhendo n=-4 1=-2B então B=-tfrac12. Logo
1(n+2)(n+4)=1/2n+2-1/2n+4

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN=sumn=0^N1(n+2)(n+4) =12sumn=0^Nl(1n+2-1n+4r)
Para ver o telescópio, escrevemos os primeiros termos:
12-14+13-15+14-16+cdots+1N+2-1N+4
Note que aparecem tfrac14,tfrac15,dots,tfrac1N+2 com sinais opostos e se cancelam. Sobram do primeiro grupo tfrac12+tfrac13 e do segundo -tfrac1N+3-tfrac1N+4. Assim
SN=12l(12+13-1N+3-1N+4r) =512-12l(1N+3+1N+4r)

Passo 4

Para concluir, observamos que ao deixar Ntoinfty os termos tfrac1N+3 e tfrac1N+4 vão a zero. Logo limNtoinftySN=5/12. Pelo critério de soma de séries, isso mostra que a série converge e sua soma é 5/12.

Resposta

512

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