Verifique se a série converge ou diverge. Para a série convergente ache a sua soma.
sumn=1^infty 1(4 n+3)(4 n-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty 1(4n+3)(4n-1) e, se convergir, computar sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer uma série telescópica usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Vamos reescrever cada termo usando frações parciais. Queremos A e B tais que
1(4n-1)(4n+3) = A4n-1 + B4n+3
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes de n e termos constantes, obtemos A+B=0 e 3A - B=1. Dessa forma A=tfrac14 e B=-tfrac14. Logo
1(4n-1)(4n+3) = 14l(14n-1 - 14n+3r)

Passo 3

Agora somamos de n=1 a n=N e observamos o cancelamento telescópico:
sumn=1^N 1(4n-1)(4n+3) = 14 l(13 - 17 + 17 - 111 + cdots + 14N-1 - 14N+3r)
Quase todos os termos intermediários se cancelam, restando
sumn=1^N 1(4n-1)(4n+3) = 14l(13 - 14N+3r)

Passo 4

Para verificar a convergência, basta tomar o limite quando N to infty. Como 1/(4N+3) to 0, a série converge e sua soma é
limNtoinfty sumn=1^N 1(4n-1)(4n+3) = 14 cdot 13 = 112,

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac112.

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