Verifique se a série converge ou diverge. Para a série convergente ache a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
e, se convergir, computar sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer uma série telescópica usando decomposição em frações parciais.
Passo 2
Vamos reescrever cada termo usando frações parciais. Queremos
e
tais que
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes de
e termos constantes, obtemos
e
. Dessa forma
e
. Logo
Passo 3
Agora somamos de
a
e observamos o cancelamento telescópico:
Quase todos os termos intermediários se cancelam, restando
Passo 4
Para verificar a convergência, basta tomar o limite quando
. Como
, a série converge e sua soma é
Resposta
A série converge e sua soma é
.