Verifique se a série converge ou diverge. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral da série é \dfrac{(-1)^{n+1}}{5^{n}} para n=1,2,\dots. A pergunta é apenas sobre a convergência (ou divergência) da soma infinita desses termos.
Passo 2
Reescrevendo o termo geral para reconhecer um tipo conhecido de série. Vou mostrar que a série é geométrica (com sinal alternado):
Como (-1)^{n+1}=(-1)^{n-1} (os expoentes diferem por 2 e (-1)^2=1), a expressão acima coincide com o termo original. Então a série pode ser vista como uma série geométrica com primeiro termo
a=\frac{1}{5}
e razão
r=-\frac{1}{5}.
Passo 3
Lembrete útil (fórmula da soma da série geométrica): se \;|r|<1\; então a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}
converge e sua soma é
\frac{a}{1-r}.
A demonstração rápida dessa fórmula: os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^{N}ar^{n-1} satisfazem
S_N=a\frac{1-r^N}{1-r},
e, se |r|<1, então r^N\to0 quando N\to\infty, dando S=\dfrac{a}{1-r}.
Passo 4
Aplicando para o nosso caso: temos a=\dfrac{1}{5} e r=-\dfrac{1}{5}. Como
logo a série dos valores absolutos converge. Conclusão importante (teorema): se uma série converge absolutamente então ela converge. Assim, além de convergir, esta série converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge) e sua soma é \dfrac{1}{6}.