Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral da série é \dfrac{(-1)^{n+1}}{5^{n}} para n=1,2,\dots. A pergunta é apenas sobre a convergência (ou divergência) da soma infinita desses termos.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral para reconhecer um tipo conhecido de série. Vou mostrar que a série é geométrica (com sinal alternado):
\frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}=\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{5}\right)^{\,n-1}.
Explicando essa igualdade passo a passo:
\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{5}\right)^{\,n-1} =\frac{1}{5}\cdot\frac{(-1)^{n-1}}{5^{n-1}} =\frac{(-1)^{n-1}}{5^{n}}.
Como (-1)^{n+1}=(-1)^{n-1} (os expoentes diferem por 2 e (-1)^2=1), a expressão acima coincide com o termo original. Então a série pode ser vista como uma série geométrica com primeiro termo
a=\frac{1}{5}
e razão
r=-\frac{1}{5}.

Passo 3

Lembrete útil (fórmula da soma da série geométrica): se \;|r|<1\; então a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}
converge e sua soma é
\frac{a}{1-r}.
A demonstração rápida dessa fórmula: os somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^{N}ar^{n-1} satisfazem
S_N=a\frac{1-r^N}{1-r},
e, se |r|<1, então r^N\to0 quando N\to\infty, dando S=\dfrac{a}{1-r}.

Passo 4

Aplicando para o nosso caso: temos a=\dfrac{1}{5} e r=-\dfrac{1}{5}. Como
\left|r\right|=\left|-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}<1,
a série geométrica converge. Podemos calcular a soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1} =\frac{\dfrac{1}{5}}{1-(-\dfrac{1}{5})} =\frac{\dfrac{1}{5}}{1+\dfrac{1}{5}} =\frac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{6}{5}} =\frac{1}{6}.

Passo 5

Complemento didático — convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos converge. Aqui
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5^{n}},
que é uma série geométrica com razão \dfrac{1}{5} e primeiro termo \dfrac{1}{5}. Sua soma é
\frac{\dfrac{1}{5}}{1-\dfrac{1}{5}}=\frac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{4}{5}}=\frac{1}{4},
logo a série dos valores absolutos converge. Conclusão importante (teorema): se uma série converge absolutamente então ela converge. Assim, além de convergir, esta série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge) e sua soma é \dfrac{1}{6}.

Exercícios relacionados