Verifique se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. A informação que temos é a expressão do termo geral:
Não há outros dados numéricos; a pergunta é simplesmente: a soma infinita dos
converge ou diverge?
Passo 2
Lembrete fundamental (ferramenta que sempre uso primeiro): uma série
só pode convergir se o termo geral
tende a zero quando
. Em outras palavras, uma condição necessária para convergência é
Se
, então a série diverge imediatamente (essa é a prova do “teste do termo geral” ou “teste da nulidade dos termos”). Vou usar esse teste: primeiro calculo
. Se for diferente de zero, já concluo.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral. Escrevo
Uma forma prática de tratar esse limite é reescrever
como uma razão onde posso aplicar um limite na forma
. Note que
Agora considere a variável
. Quando
tem-se
. Então o limite pedido é
Passo 4
Calcular
. Isso é um limite clássico do cálculo. A indeterminação é do tipo
, porque
e
. Pelo método de derivadas (Regra de L’Hôpital), quando há uma indeterminação
e as derivadas existem próximas de
, o limite da razão é o limite da razão das derivadas. Derivo numerador e denominador em relação a
:
- derivada de
é ; - derivada de
é .
Aplicando L’Hôpital:
(Alternativamente, esse resultado também vem da expansão
, que dá
.)
Passo 5
Concluímos que
Portanto os termos gerais não tendem a zero (tendem a
). Pelo teste do termo geral, se os termos não vão a zero a série não pode convergir.
Resposta
Diverge.