Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} n \ln \left(\frac{n+1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} n \ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right)
converge ou diverge. A informação que temos é a expressão do termo geral:
a_n = n \ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right).
Não há outros dados numéricos; a pergunta é simplesmente: a soma infinita dos a_n converge ou diverge?

Passo 2

Lembrete fundamental (ferramenta que sempre uso primeiro): uma série \sum a_n só pode convergir se o termo geral a_n tende a zero quando n\to\infty. Em outras palavras, uma condição necessária para convergência é
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, então a série diverge imediatamente (essa é a prova do “teste do termo geral” ou “teste da nulidade dos termos”). Vou usar esse teste: primeiro calculo \lim_{n\to\infty} a_n. Se for diferente de zero, já concluo.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral. Escrevo
a_n = n \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Uma forma prática de tratar esse limite é reescrever a_n como uma razão onde posso aplicar um limite na forma 0/0. Note que
a_n = \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}.
Agora considere a variável x=\dfrac{1}{n}. Quando n\to\infty tem-se x\to 0^+. Então o limite pedido é
\lim_{n\to\infty} a_n \;=\; \lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\dfrac{\ln(1+x)}{x}. Isso é um limite clássico do cálculo. A indeterminação é do tipo 0/0, porque \ln(1+0)=0 e x\to 0. Pelo método de derivadas (Regra de L’Hôpital), quando há uma indeterminação 0/0 e as derivadas existem próximas de 0, o limite da razão é o limite da razão das derivadas. Derivo numerador e denominador em relação a x:
  • derivada de \ln(1+x) é \dfrac{1}{1+x};
  • derivada de x é 1.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\dfrac{1}{1+x}}{1} = \frac{1}{1+0} = 1.
(Alternativamente, esse resultado também vem da expansão \ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+\cdots, que dá \ln(1+x)/x\to 1.)

Passo 5

Concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} n \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) = 1.
Portanto os termos gerais não tendem a zero (tendem a 1). Pelo teste do termo geral, se os termos não vão a zero a série não pode convergir.

Resposta

Diverge.

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