Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \sin ^{3}\left(\frac{1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sin^{3}\!\left(\frac{1}{n}\right)
converge ou diverge. Informações que temos do enunciado:
  • O índice n varia em 1,2,3,\dots.
  • Para todo n\ge 1 tem-se \dfrac{1}{n}\in(0,1], portanto \sin\!\left(\dfrac{1}{n}\right)\ge 0. Logo os termos da série são não negativos.
  • Precisamos decidir se a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).

Passo 2

Vou apresentar um teste simples que vamos usar (explicando o que ele diz e por que é válido):
  • Teste da comparação direta (forma usada aqui): se (a_n) e (b_n) são sequências de termos não negativos e existe uma constante C>0 tal que, para todo n grande, 0\le a_n\le C\,b_n, então:
    • Se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
    • Se \sum a_n diverge e a_n\ge c\,b_n para algum c>0, então \sum b_n diverge.
      Explicação rápida do porquê: ao comparar termo a termo com uma série conhecida, se os termos de uma série são menores que os de outra convergente, a soma parcial não pode ultrapassar uma soma finita — esta é a ideia intuitiva formalizada pelo teste.
Também vamos usar o fato clássico sobre séries do tipo p-série:
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Em particular, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge, porque 3>1.

Passo 3

Agora precisamos ligar \sin^{3}\!\left(\dfrac{1}{n}\right) com uma p-série. Uma desigualdade muito útil e simples de justificar é
\sin x \le x\qquad\text{para todo }x\ge 0.
Justificativa curta: considere f(x)=x-\sin x. Tem-se f(0)=0 e f'(x)=1-\cos x\ge 0 para x\ge 0, logo f é crescente em [0,\infty). Assim f(x)\ge f(0)=0, ou seja \sin x\le x para x\ge 0. (Intuição: a reta y=x fica sempre acima da curva y=\sin x perto de zero.)

Passo 4

Aplicando a desigualdade anterior com x=\dfrac{1}{n} (lembre que \dfrac{1}{n}\ge 0 para todo n), obtemos
\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}.
Elevando ao cubo (os termos são não negativos, então a desigualdade preserva-se ao cubar), vem
\sin^{3}\!\left(\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n^{3}}.

Passo 5

Agora use o teste da comparação direta: os termos são não negativos e satisfazem \sin^{3}\!\left(\dfrac{1}{n}\right)\le \dfrac{1}{n^{3}} para todo n. Sabendo que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge (é uma p-série com p=3>1), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \sin^{3}\!\left(\frac{1}{n}\right)
também converge, por comparação direta.

Passo 6

Comentário adicional (opcional, para reforçar a intuição): pode-se também usar o teste da comparação limite. Como \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^{3}\!\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n^{3}}} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}\right)^{3}=1,
o que mostra que \sin^{3}\!\left(\tfrac{1}{n}\right) é assintoticamente equivalente a \tfrac{1}{n^{3}}; portanto as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

A série converge.

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