Verifique se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informações que temos do enunciado:
- O índice
varia em . - Para todo
tem-se , portanto . Logo os termos da série são não negativos. - Precisamos decidir se a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Passo 2
Vou apresentar um teste simples que vamos usar (explicando o que ele diz e por que é válido):
- Teste da comparação direta (forma usada aqui): se
e são sequências de termos não negativos e existe uma constante tal que, para todo grande, , então: - Se
converge, então também converge. - Se
diverge e para algum , então diverge.
Explicação rápida do porquê: ao comparar termo a termo com uma série conhecida, se os termos de uma série são menores que os de outra convergente, a soma parcial não pode ultrapassar uma soma finita — esta é a ideia intuitiva formalizada pelo teste.
- Se
Também vamos usar o fato clássico sobre séries do tipo
-série:
- A série
converge se, e somente se, . Em particular, converge, porque .
Passo 3
Agora precisamos ligar
com uma
-série. Uma desigualdade muito útil e simples de justificar é
Justificativa curta: considere
. Tem-se
e
para
, logo
é crescente em
. Assim
, ou seja
para
. (Intuição: a reta
fica sempre acima da curva
perto de zero.)
Passo 4
Aplicando a desigualdade anterior com
(lembre que
para todo
), obtemos
Elevando ao cubo (os termos são não negativos, então a desigualdade preserva-se ao cubar), vem
Passo 5
Agora use o teste da comparação direta: os termos são não negativos e satisfazem
para todo
. Sabendo que a série
converge (é uma
-série com
), concluímos que
também converge, por comparação direta.
Passo 6
Comentário adicional (opcional, para reforçar a intuição): pode-se também usar o teste da comparação limite. Como
, temos
o que mostra que
é assintoticamente equivalente a
; portanto as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Isso confirma a conclusão anterior.
Resposta
A série converge.