Verifique se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}
converge ou diverge. Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}.
  • Precisa-se decidir convergência ou divergência da soma infinita dos a_n.

Passo 2

Vamos estudar o comportamento do termo geral \displaystyle a_n=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} quando n\to\infty.
É útil considerar primeiro a sequência
b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Conhecemos (ou mostramos) que \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = e, onde e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2{,}71828). Vou explicar por que isso vale de forma elementar.

Passo 3

Demonstração do limite \displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e (método com logaritmo):
  • Tome o logaritmo natural de b_n:
\ln b_n = n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
  • Reescreva como um quociente conveniente:
\ln b_n = \frac{\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}.
  • Quando n\to\infty, x=\frac{1}{n}\to0^+. Usando a conhecida expansão (ou o limite fundamental) \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, obtemos
\lim_{n\to\infty} \ln b_n = 1.
  • Como a função exponencial é contínua, disso segue
\lim_{n\to\infty} b_n = \mathrm{e}^{1}=e.

Passo 4

A partir do resultado anterior, calculamos o limite do termo geral a_n:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{b_n} = \frac{1}{e}.
Portanto os termos da série não tendem a zero; eles tendem a \dfrac{1}{e}, um número positivo.

Passo 5

Lembrete do teste básico (teste do termo geral / critério da divergência): se \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, então a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n não pode convergir (porque os somatórios parciais não podem aproximar um número finito se os termos não vão a zero). Aqui temos \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{e}\neq0, logo a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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