Verifique se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Precisa-se decidir convergência ou divergência da soma infinita dos
.
Passo 2
Vamos estudar o comportamento do termo geral
quando
.
É útil considerar primeiro a sequência
É útil considerar primeiro a sequência
Conhecemos (ou mostramos) que
, onde
é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente
). Vou explicar por que isso vale de forma elementar.
Passo 3
Demonstração do limite
(método com logaritmo):
- Tome o logaritmo natural de
:
- Reescreva como um quociente conveniente:
- Quando
, . Usando a conhecida expansão (ou o limite fundamental) , obtemos
- Como a função exponencial é contínua, disso segue
Passo 4
A partir do resultado anterior, calculamos o limite do termo geral
:
Portanto os termos da série não tendem a zero; eles tendem a
, um número positivo.
Passo 5
Lembrete do teste básico (teste do termo geral / critério da divergência): se
, então a série
não pode convergir (porque os somatórios parciais não podem aproximar um número finito se os termos não vão a zero). Aqui temos
, logo a série diverge.
Resposta
A série diverge.