Verifique se a série converge ou diverge:
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita para analisar:
. O que queremos saber é se essa série converge (isto é, se a soma dos seus termos chega a um número finito) ou diverge (se a soma cresce sem limite). Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da nossa série:
. Quando
fica muito grande, o
no denominador se torna quase irrelevante, então podemos simplificar os termos para algo mais fácil de comparar. Basicamente, para
grande,
.
Passo 3
Agora, sabemos que a série
é a famosa Série Harmônica, que diverge. Isso significa que sua soma não chega a um número finito.
Passo 4
Vamos comparar nossa série
com a Série Harmônica. Observamos que para todo
:
Aqui, simplificamos
para
, então a desigualdade acima é verdadeira.
Passo 5
Como mostramos que
e a Série Harmônica
diverge, pelo Teste de Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.