Verifique se a série converge ou diverge:
sumn=1^infty n^2n^3+1

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita para analisar: sumn=1^infty n^2n^3+1. O que queremos saber é se essa série converge (isto é, se a soma dos seus termos chega a um número finito) ou diverge (se a soma cresce sem limite). Para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da nossa série: n^2n^3+1. Quando n fica muito grande, o +1 no denominador se torna quase irrelevante, então podemos simplificar os termos para algo mais fácil de comparar. Basicamente, para n grande, n^2n^3+1 approx n^2n^3 = 1n.

Passo 3

Agora, sabemos que a série sumn=1^infty 1n é a famosa Série Harmônica, que diverge. Isso significa que sua soma não chega a um número finito.

Passo 4

Vamos comparar nossa série sumn=1^infty n^2n^3+1 com a Série Harmônica. Observamos que para todo n >= 1:
n^2n^3+1 >= n^22n^3 = 12n
Aqui, simplificamos n^3 + 1 <= 2n^3 para n >= 1, então a desigualdade acima é verdadeira.

Passo 5

Como mostramos que n^2n^3+1 >= 12n e a Série Harmônica sum 1n diverge, pelo Teste de Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^2n^3+1 diverge.

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