Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F e a superfície
.
, onde
é o cone
, com orientação descendente.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial
sobre o cone
definido por
,
, com orientação descendente (normal apontando para baixo). Para isso, precisamos calcular a integral de circulação de
ao redor da fronteira
e a integral de superfície do rotacional de
sobre
e mostrar que são iguais.
Passo 2
Determinar a fronteira
e parametrizá-la: a interseção do cone com o plano
é o círculo
em
. Usamos
,
. A orientação induzida pelo normal descendente corresponde ao sentido horário visto de cima; por isso podemos parametrizar no sentido anti-horário e depois inverter o sinal do resultado.
Calcular a integral de linha : substituindo
e
, obtemos
. Integramos de 0 a
dando
e invertemos o sinal pela orientação, resultando em
.
Calcular a integral de linha
Passo 3
Determinar o rotacional de
: calculando
achamos
.
Parametrizar a superfície e obter o vetor normal orientado para baixo: em coordenadas polares usamos
, com
,
. Os vetores tangentes são
e
. O produto vetorial
corresponde à orientação ascendente, então para a orientação descendente usamos
.
Parametrizar a superfície
Passo 4
Calcular a integral de superfície
: substituindo
e
achamos
. Integrando
de 0 a 4 e
de 0 a
dá
.
Passo 5
Comparar os resultados: tanto a integral de linha quanto a integral de superfície valem
. Isso confirma que o Teorema de Stokes é válido para este campo e superfície.
Resposta
As duas integrais são iguais a -32\pi, logo o Teorema de Stokes é verificado.