Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F e a superfície S.
F(x, y, z)=-y i+x j-k, onde S é o cone z^2=x^2+y^2, 0 <= z <= 4, com orientação descendente.

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial F(x,y,z)=(-y,,x,,-1) sobre o cone S definido por z^2=x^2+y^2, 0<= z<=4, com orientação descendente (normal apontando para baixo). Para isso, precisamos calcular a integral de circulação de F ao redor da fronteira partial S e a integral de superfície do rotacional de F sobre S e mostrar que são iguais.

Passo 2

Determinar a fronteira partial S e parametrizá-la: a interseção do cone com o plano z=4 é o círculo x^2+y^2=16 em z=4. Usamos r(t)=(4cos t,,4sin t,,4), tin[0,2pi]. A orientação induzida pelo normal descendente corresponde ao sentido horário visto de cima; por isso podemos parametrizar no sentido anti-horário e depois inverter o sinal do resultado.
Calcular a integral de linha ointpartial SFcdot dr: substituindo F(r(t))=(-4sin t,,4cos t,,-1) e dr=(-4sin t,,4cos t,,0),dt, obtemos Fcdot dr=16,dt. Integramos de 0 a 2pi dando 32pi e invertemos o sinal pela orientação, resultando em -32pi.

Passo 3

Determinar o rotacional de F: calculando nablatimesF achamos nablatimesF=(0,0,2).
Parametrizar a superfície S e obter o vetor normal orientado para baixo: em coordenadas polares usamos R(r,theta)=(rcostheta,,rsintheta,,r), com rin[0,4], thetain[0,2pi]. Os vetores tangentes são Rr=(costheta,,sintheta,,1) e Rtheta=(-rsintheta,,rcostheta,,0). O produto vetorial RrtimesRtheta=(-rcostheta,,-rsintheta,,r) corresponde à orientação ascendente, então para a orientação descendente usamos n,dS=(rcostheta,,rsintheta,,-r),dr,dtheta.

Passo 4

Calcular a integral de superfície integral duplaS(nablatimesF)cdot n,dS: substituindo (nablatimesF)=(0,0,2) e n,dS achamos (0,0,2)cdot(rcostheta,,rsintheta,,-r)=-2r. Integrando r de 0 a 4 e theta de 0 a 2pi -32pi.

Passo 5

Comparar os resultados: tanto a integral de linha quanto a integral de superfície valem -32pi. Isso confirma que o Teorema de Stokes é válido para este campo e superfície.

Resposta

As duas integrais são iguais a -32\pi, logo o Teorema de Stokes é verificado.

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