Verifique se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n raizn2 n+3

Passo 1

Temos a série alternada sumn=1^infty(-1)^nraizn2n+3. O conteúdo aqui é o teste de séries alternadas (teste de Leibniz) para verificar convergência condicional e, em seguida, analisar convergência absoluta via comparação com uma série p.

Passo 2

Definimos o termo positivo an=raizn2n+3. Primeiro, precisamos mostrar que limntoinftyan=0. Calculamos
limntoinftyraizn2n+3=limntoinftyn^1/22nl(1+tfrac32nr)=limntoinfty12,n^1/2l(1+O(1/n)r)=0

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que an é decrescente para n grande. Considere a função f(x)=raizx2x+3. Calculamos a derivada
f'(x)=12raizx(2x+3)-2raizx(2x+3)^2=-2x+32raizx,(2x+3)^2,

Passo 4

Note que para x>3/2 temos f'(x)<0, logo an+1 para todo n>=2, ou seja, (an) é decrescente a partir de n=2.

Passo 5

Pelas duas condições do teste de Leibniz ( an>0, decrescente e lim an=0), a série alternada converge.

Passo 6

Para verificar convergência absoluta, examinamos sum|(-1)^n an|=sum an=sumraizn2n+3. Para n grande,
raizn2n+3simraizn2n=12raizn,, e a série sum1/raizn é uma série p com p=1/2<=1, portanto diverge. Logo a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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