Verifique se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-13+5 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série infinita
sumn=1^infty (-1)^n-13+5n
é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos usar o Teste da Série Alternada para resolver. Esse teste é útil quando os termos da série alternam sinais, como é o caso aqui com o (-1)^n-1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
sumn=1^infty (-1)^n-1 an
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são decrescentes: Cada termo é menor ou igual ao anterior.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero: limn to infty an = 0.
No nosso caso, an = 13 + 5n.

Passo 3

Vamos verificar as duas condições:
  1. Os termos são decrescentes?
    Olhando para an = 13 + 5n, conforme n aumenta, o denominador 3 + 5n fica maior, então an fica menor. Ou seja, os termos estão de fato decrescendo.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero?
    Calculando o limite:
    limn to infty 13 + 5n = 0
    Então, essa condição também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas, concluímos que a série
sumn=1^infty (-1)^n-13+5n
é convergente.

Exercícios relacionados