Verifique se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série infinita
é convergente ou divergente. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e vamos usar o Teste da Série Alternada para resolver. Esse teste é útil quando os termos da série alternam sinais, como é o caso aqui com o
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: Cada termo é menor ou igual ao anterior. - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos verificar as duas condições:
-
Os termos são decrescentes?Olhando para
, conforme aumenta, o denominador fica maior, então fica menor. Ou seja, os termos estão de fato decrescendo. -
O limite de
quando tende ao infinito é zero? Calculando o limite:Então, essa condição também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada foram satisfeitas, concluímos que a série
é convergente.