Determine se a série converge ou diverge.
sumn=2^infty 1ln n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumn=2^infty1ln n. Isso é conteúdo de séries numéricas e vamos precisar de um critério de convergência, como o teste da integral ou o critério de condensação de Cauchy.

Passo 2

Vamos usar o teste da integral, que diz: se f(x) é positiva, decrescente e contínua para x>=2, então sumn=2^infty f(n) e integral2^infty f(x),dx têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem). Aqui tomamos f(x)=1/ln x.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria associada:
integral2^infty dxln x

Passo 4

Essa integral é a chamada função integral logarítmica li(x), e sabe-se que limAtoinftyli(A)=infty. Logo,
integral2^infty dxln x=infty,

Passo 5

ou seja, a integral diverge. Pelo teste da integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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