O enunciado pede para verificar se a série é convergente ou divergente. O conteúdo central aqui são séries alternantes, então vamos usar o teste de Leibniz (critério das séries alternantes) e também checar se há convergência absoluta.
Passo 2
Observamos que a série pode ser escrita como onde
$$
a_n=\frac{n{2}}{n{3}+4}$$
ou seja, os sinais alternam por causa de e para todo .
Passo 3
Primeiro critério do teste de Leibniz: verificar se .
Calculamos
Logo, os termos tendem a zero.
Passo 4
Segundo critério do teste de Leibniz: verificar se é decrescente, pelo menos a partir de algum . Considere a função
Derivando,
Para temos , então e é decrescente a partir de . Isso basta para aplicar o teste de Leibniz.
Passo 5
Pelo teste de Leibniz, como , decrescente (para ) e , a série alternante converge.
Passo 6
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Como para n grande n^3+4sim n^3, temos n^2n^3+4sim1n e sum1/n diverge. Logo, a série não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, mas diverge em termos absolutos.