Verifique se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+4 é convergente ou divergente. O conteúdo central aqui são séries alternantes, então vamos usar o teste de Leibniz (critério das séries alternantes) e também checar se há convergência absoluta.

Passo 2

Observamos que a série pode ser escrita como sumn=1^infty(-1)^n+1an onde
$$
a_n=\frac{n{2}}{n{3}+4}$$
ou seja, os sinais alternam por causa de an=n^2n^3+4 e (-1)^n+1 para todo an>0.

Passo 3

Primeiro critério do teste de Leibniz: verificar se limntoinftyan=0.
Calculamos
limntoinftyn^2n^3+4 =limntoinfty1n+4/n^2 =0
Logo, os termos tendem a zero.

Passo 4

Segundo critério do teste de Leibniz: verificar se an é decrescente, pelo menos a partir de algum n. Considere a função
f(x)=x^2x^3+4, x>=1
Derivando,
f'(x)=2x(x^3+4)-3x^4(x^3+4)^2 =-x^4+8x(x^3+4)^2=x(-x^3+8)(x^3+4)^2
Para x>=2 temos -x^3+8<=0, então f'(x)<=0 e an é decrescente a partir de n=2. Isso basta para aplicar o teste de Leibniz.

Passo 5

Pelo teste de Leibniz, como an>0, an decrescente (para n>=2) e anto0, a série alternante converge.

Passo 6

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n+1tfracn^2n^3+4r| =sumn=1^inftyn^2n^3+4
Como para n grande n^3+4sim n^3, temos n^2n^3+4sim1n e sum1/n diverge. Logo, a série não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, mas diverge em termos absolutos.

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