VERIFIQUE SE A SÉRIE É CONVERGENTE.
sumn=1^infty ln (n+1)n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty ln(n+1)n^2+n é convergente. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação de limite, que compara an com uma série conhecida.

Passo 2

Observando o termo geral an = ln(n+1)n^2+n, para n grande temos ln(n+1)simln(n) e n^2+nsim n^2. Logo, propomos a série de comparação sum bn com
bn = ln(n)n^2

Passo 3

Agora temos que mostrar que sum bn converge. Usamos o teste da integral imprópria para a função f(x)=ln(x)x^2, que é positiva, contínua e decrescente em [1,infty).
Calculamos
integral1^infty ln(x)x^2,dx = [-ln(x)x-1x]1^infty = 0 -l(-0-1r) =1,
o que é finito. Então sum bn converge.

Passo 4

Por fim, aplicamos o teste de comparação de limites. Calculamos
limntoinfty anbn = limntoinfty ln(n+1)/(n^2+n)ln(n)/n^2 = limntoinfty ln(n+1)ln(n)cdotn^2n^2+n =1cdot1=1
Como o limite é finito e não nulo, e sum bn converge, concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty ln(n+1)n^2+n é convergente.

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