Um filtro passa-baixas não ideal possui resposta ao impulso h(t)=e^-3|t|.
Determine o ganho desse filtro para a frequência omega=4 rad / s.

Passo 1

O enunciado pede o ganho do filtro não ideal cuja resposta ao impulso é h(t)=e^-3|t| na frequência omega=4,rad/s. O conteúdo é Transformada de Fourier de uma função par e precisaremos usar a definição de H(jomega) e a identidade de integrais de exponencial vezes cosseno.

Passo 2

A definição de resposta em frequência é H(jomega)=integral-infty^+inftyh(t)e^-jomega t,dt. Como h(t) é função par l(h(-t)=h(t)r), o expoente imaginário gera simetria e podemos escrever
H(jomega)=2integral0^inftye^-3tcos(omega t),dt

Passo 3

Usamos agora a identidade
integral0^inftye^-atcos(bt),dt=aa^2+b^2, com a=3 e b=omega. Logo,
H(jomega)=2cdot33^2+omega^2=69+omega^2

Passo 4

Basta então substituir omega=4:
H(j4)=69+4^2=625=0,24

Resposta

O ganho do filtro na frequência omega=4,rad/s é 0,24.

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