Decida se a série abaixo converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar o Critério da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar a convergência de séries infinitas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é o Critério da Razão. Esse critério diz que, para uma série , se o limite for:
Menor que 1: a série converge absolutamente.
Maior que 1: a série diverge.
Igual a 1: o critério não é conclusivo.
Então, nosso objetivo aqui é calcular esse limite para a nossa série.
Passo 3
Vamos calcular an+1an, onde an = (3n)!30^n (n!)^3.
an+1an = (3(n+1))!30^n+1 ((n+1)!)^3 times 30^n (n!)^3(3n)!
Simplificando:
an+1an = (3n+3)!30 cdot (3n)! times (n!)^3(n+1)^3(n!)^3 = (3n+1)(3n+2)(3n+3)30(n+1)^3
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão para encontrar o limite quando n tende ao infinito. Observe que: