Decida se a série abaixo converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
sumn=1^infty (3 n)!(30^n(n!)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty (3n)!30^n (n!)^3 converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar o Critério da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar a convergência de séries infinitas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é o Critério da Razão. Esse critério diz que, para uma série sum an, se o limite limn to infty | an+1an | for:
  • Menor que 1: a série converge absolutamente.
  • Maior que 1: a série diverge.
  • Igual a 1: o critério não é conclusivo.
Então, nosso objetivo aqui é calcular esse limite para a nossa série.

Passo 3

Vamos calcular an+1an, onde an = (3n)!30^n (n!)^3.
an+1an = (3(n+1))!30^n+1 ((n+1)!)^3 times 30^n (n!)^3(3n)!
Simplificando:
an+1an = (3n+3)!30 cdot (3n)! times (n!)^3(n+1)^3(n!)^3 = (3n+1)(3n+2)(3n+3)30(n+1)^3

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão para encontrar o limite quando n tende ao infinito. Observe que:
(3n+1)(3n+2)(3n+3)30(n+1)^3 approx 27n^330n^3 = 2730 = 910
Isso porque, para valores grandes de n, os termos de menor grau (como os constantes 1, 2, 3) têm pouca influência no resultado final.

Passo 5

Então, o limite é:
limn to infty an+1an = 910 < 1
Como esse limite é menor que 1, o Critério da Razão nos diz que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (3n)!30^n (n!)^3 converge absolutamente pelo Critério da Razão, já que o limite do termo geral an+1an é menor que 1.

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