Verifique que as séries abaixo atendem as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, decida sobre a convergência da série.
sumn=1^+infty e^-n

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Integral à série
sumn=1^inftye^-n
de modo a verificar as hipóteses de validade do teste (função positiva, decrescente e contínua) e, em seguida, decidir sobre a convergência da série.

Passo 2

Definimos a função contínua associada à série por
f(x)=e^-x, x>=1
Verificamos as hipóteses:
  1. f(x)>0 para todo x>=1.
  2. f é contínua em [1,infty) pois é exponencial.
  3. A derivada é
f'(x)=-e^-x<0para todo x>=1,
logo f é estritamente decrescente em [1,infty).

Passo 3

Calculamos o integral impróprio
integral1^inftye^-x,dx
usando
integral e^-x,dx=-e^-x + C
Assim
integral1^inftye^-x,dx =limbtoinftyl[-e^-xr]1^b =limbtoinftyl(-e^-b+e^-1r) =0+e^-1 =e^-1<infty

Passo 4

Como o integral converge, pelo Teste da Integral a série
sumn=1^inftye^-n
também converge.

Resposta

A série converge.

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