Verifique que as séries abaixo atendem as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, decida sobre a convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o Teste da Integral à série
de modo a verificar as hipóteses de validade do teste (função positiva, decrescente e contínua) e, em seguida, decidir sobre a convergência da série.
Passo 2
Definimos a função contínua associada à série por
Verificamos as hipóteses:
-
para todo . -
é contínua em pois é exponencial. - A derivada é
logo
é estritamente decrescente em
.
Passo 3
Calculamos o integral impróprio
usando
Assim
Passo 4
Como o integral converge, pelo Teste da Integral a série
também converge.
Resposta
A série converge.