Resolva o problema de valor inicial.
y^prime prime-6 y^prime+25 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 6y' + 25y = 0,
sujeita às condições
y(0)=2, y'(0)=1
O conteúdo envolvido é a resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes, usando a equação característica e tratamento de raízes complexas.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^rt na EDO:
r^2 - 6r + 25 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot25 = 36 - 100 = -64,
logo as raízes são complexas conjugadas
r = 6pmraiz-642 = 3pm4i

Passo 3

Para raízes r=3pm4i, a solução geral é
y(t) = e^3tl(C1cos(4t) + C2sin(4t)r),
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos y(0)=2:
y(0)=e^0l(C1cdot1 + C2cdot0r)=C1=2
Agora calculamos y'(t). Usando produto e derivada de seno e cosseno,
y'(t)=3e^3t(C1cos4t + C2sin4t) + e^3t(-4C1sin4t + 4C2cos4t)
Em t=0, isso dá
y'(0)=3(C1)+4(C2)=3cdot2 +4C2=6+4C2
Como y'(0)=1, segue
6+4C2=1Longrightarrow4C2=-5Longrightarrow C2=-tfrac54

Resposta

y(t) = e^3tl(2cos(4t) - tfrac54sin(4t)r)

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