Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{7}\right)^{n};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^{n}.
O tema é séries infinitas, em particular séries geométricas. Para resolver, vamos usar o critério de convergência de uma série geométrica e, se convergir, calcular sua soma.

Passo 2

Identificamos que a série é geométrica com termo geral
a_n = \bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^{n}.
O primeiro termo é
a_0 = \bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^{0} = 1,
e a razão é
r = \tfrac{2}{7}.

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que
\sum_{n=0}^{\infty} a_0\,r^n
converge se, e somente se,
\lvert r\rvert < 1,
caso contrário diverge.

Passo 4

Neste caso temos
\bigl\lvert r\bigr\rvert = \bigl\lvert \tfrac{2}{7}\bigr\rvert = \tfrac{2}{7} < 1,
portanto a série converge. Quando \lvert r\rvert<1, a soma é
\sum_{n=0}^{\infty}r^n = \frac{1}{1-r}.
Substituindo r=\tfrac{2}{7}, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^{n} = \frac{1}{1 - \tfrac{2}{7}} = \frac{1}{\tfrac{5}{7}} = \frac{7}{5}.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^{n} = \frac{7}{5}.

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