Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln (n))^{n}}

Passo 1

O enunciado pede determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln(n))^{n}}
converge ou diverge. Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas e vamos aplicar o teste da raiz n-ésima, que é adequado quando os termos têm potências com expoente dependente de n.

Passo 2

O teste da raiz n-ésima afirma que, para uma sequência de termos a_n, se
L \;=\;\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert},
então:
- Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
- Se L>1, a série diverge.
- Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso,
a_n = \frac{1}{(\ln(n))^{n}}.
Calculamos
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} =\sqrt[n]{\frac{1}{(\ln(n))^{n}}} =\frac{1}{\ln(n)}.
Logo
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n)} = 0.

Passo 4

Como L=0<1, o teste da raiz n-ésima garante que a série converge absolutamente. Portanto, a série converge.

Resposta

A série converge.

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