Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
e pede para verificar se converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar a técnica de telescópico obtida por racionalização do termo geral.

Passo 2

Para simplificar o termo geral, racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por \sqrt{n+1}-\sqrt{n}. Assim,
\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \;=\; \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} \;=\; \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n} \;=\; \sqrt{n+1}-\sqrt{n}.

Passo 3

O termo geral da série passa a ser
a_{n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}.
Logo a soma parcial até N é
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} a_{n} = \sum_{n=1}^{N} \bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr).
Como é telescópica, todos os termos intermediários cancelam, sobrando
S_{N} = \sqrt{N+1} - \sqrt{1} = \sqrt{N+1} - 1.

Passo 4

Para analisar a convergência, olhamos para
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \lim_{N\to\infty} \bigl(\sqrt{N+1}-1\bigr) = \infty.
Como a soma parcial cresce sem limite, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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