Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot\left(1+e^{-n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bigl(1+e^{-n}\bigr)
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar o teste de convergência absoluta, o teste do termo geral e o teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta examinando
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n}(1+e^{-n})\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}(1+e^{-n}).
Como \sum_{n=1}^{\infty}1 diverge (série harmônica de termos constantes) e \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n} converge, o conjunto diverge pelo termo 1. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar convergência condicional, olhamos para o termo geral da série original:
a_n = (-1)^{n}\bigl(1+e^{-n}\bigr).
Um requisito necessário para qualquer série convergente é
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.
Aqui
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}(-1)^{n}\bigl(1+e^{-n}\bigr) =(-1)^{n}\cdot1
não existe como zero, pois \lim_{n\to\infty}(1+e^{-n})=1\neq0. Pelo teste do termo geral, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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