Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot\left(1+e^{-n}\right)
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\bigl(1+e^{-n}\bigr)
quanto à convergência absoluta, condicional ou divergência. Vamos usar o teste de convergência absoluta, o teste do termo geral e o teste de Leibniz para séries alternantes.
Como \sum_{n=1}^{\infty}1 diverge (série harmônica de termos constantes) e \sum_{n=1}^{\infty}e^{-n} converge, o conjunto diverge pelo termo 1. Logo, a série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Para verificar convergência condicional, olhamos para o termo geral da série original:
a_n = (-1)^{n}\bigl(1+e^{-n}\bigr).
Um requisito necessário para qualquer série convergente é