Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-5)^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-5)^{n}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui o conteúdo é critérios de convergência de séries, e vamos usar o teste da razão para investigar a convergência (absoluta ou não) e também verificar se os termos vão a zero.
Passo 2
Primeiro, consideramos a convergência absoluta, olhando para
diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 4
Para haver convergência condicional, seria preciso que a série com sinal \sum n! /(-5)^{n} convirja apesar da divergência em módulo. Mas note que, para qualquer série que convirja, seus termos devem tender a zero. Aqui