Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-5)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(-5)^{n}}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Aqui o conteúdo é critérios de convergência de séries, e vamos usar o teste da razão para investigar a convergência (absoluta ou não) e também verificar se os termos vão a zero.

Passo 2

Primeiro, consideramos a convergência absoluta, olhando para
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{n!}{(-5)^{n}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}.
Aplicamos o teste da razão sobre a_{n} = \tfrac{n!}{5^{n}}.

Passo 3

Calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(n+1)!}{5^{\,n+1}}}{\frac{n!}{5^{\,n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{5^{\,n}}{5^{\,n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{5} = \infty.
Como L>1, o teste da razão informa que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}
diverge. Logo, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Para haver convergência condicional, seria preciso que a série com sinal \sum n! /(-5)^{n} convirja apesar da divergência em módulo. Mas note que, para qualquer série que convirja, seus termos devem tender a zero. Aqui
\left|\frac{n!}{(-5)^{n}}\right| = \frac{n!}{5^{n}}
não tende a zero (na verdade cresce), de modo que
\frac{n!}{(-5)^{n}}
também não tende a zero. Portanto a série nem mesmo converge condicionalmente.

Resposta

A série diverge.

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