Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n!}
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}, que é positivo para todo n. A pergunta é única: determinar convergência/divergência da série.

Passo 2

Vou usar o teste da razão (teste de d’Alembert), que é muito prático para séries com fatoriais e potências. Vou explicar o teste com calma:
  • Suponha uma série de termos positivos \sum a_n com a_n>0.
  • Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
quando esse limite existir.
  • O teste da razão diz:
    • se L<1, a série converge absolutamente;
    • se L>1, a série diverge;
    • se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição rápida: se \dfrac{a_{n+1}}{a_n} tende para um número maior que 1, os termos não estão decrescendo suficientemente — em geral crescem geometricamente — então a soma explode; se tende para algo menor que 1, os termos caem geometricamente e a soma converge.

Passo 3

Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} para a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}. Escrevo a_{n+1} explicitamente:
a_{n+1}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}\,n!}{(n+1)!\,n^{n}}.

Passo 4

Simplifico a expressão usando (n+1)!=(n+1)\,n!:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{\,n+1}\,n!}{(n+1)\,n!\,n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n}}{n^{n}}.
Agora fatoro n^{n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 5

Conhecimento importante (definição de e): o número de Euler e é definido pela convergência
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e\approx 2,7182818\ldots
Por exemplo, para n=1 o valor é 2, para n=2 é 2,25, para n=10 é aproximadamente 2,5937, e esses valores vão subindo até e.

Passo 6

Aplicando essa definição ao nosso limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e.
Como e>1, pelo teste da razão (caso L>1) a série diverge.

Passo 7

Comentário final de intuição: dado que a razão entre termos consecutivos tende para um número maior que 1, os termos a_n crescem (eventualmente) de forma semelhante a uma progressão geométrica com razão maior que 1; em particular os termos não tendem a zero, o que já impede a convergência da série.

Resposta

A série diverge.

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