Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informação dada: o termo geral é
, que é positivo para todo
. A pergunta é única: determinar convergência/divergência da série.
Passo 2
Vou usar o teste da razão (teste de d’Alembert), que é muito prático para séries com fatoriais e potências. Vou explicar o teste com calma:
- Suponha uma série de termos positivos
com . - Defina
quando esse limite existir.
- O teste da razão diz:
- se
, a série converge absolutamente; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
- se
Intuição rápida: se
tende para um número maior que
, os termos não estão decrescendo suficientemente — em geral crescem geometricamente — então a soma explode; se tende para algo menor que
, os termos caem geometricamente e a soma converge.
Passo 3
Calculo a razão
para
. Escrevo
explicitamente:
Então
Passo 4
Simplifico a expressão usando
:
Agora fatoro
:
Passo 5
Conhecimento importante (definição de
): o número de Euler
é definido pela convergência
Por exemplo, para
o valor é
, para
é
, para
é aproximadamente
, e esses valores vão subindo até
.
Passo 6
Aplicando essa definição ao nosso limite:
Como
, pelo teste da razão (caso
) a série diverge.
Passo 7
Comentário final de intuição: dado que a razão entre termos consecutivos tende para um número maior que
, os termos
crescem (eventualmente) de forma semelhante a uma progressão geométrica com razão maior que
; em particular os termos não tendem a zero, o que já impede a convergência da série.
Resposta
A série diverge.