Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty en^2 n n2

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty en^2n,n2
O conteúdo principal é teste de convergência de séries infinitas de termos positivos; usaremos aqui o teste da raiz (Cauchy) para determinar se a série converge absolutamente.

Passo 2

Escrevemos o termo geral da série como
an = en^2n;n2 = e2;n^1-2n
Note que ,an>0, para todo n, então basta testar
sum an pelo teste da raiz.

Passo 3

No teste da raiz calculamos
L = limntoinftyraiz[n]an = limntoinfty raiz[n]e2;raiz[n]n^1-2n = limntoinfty l(e2r)^1/n ;n^1-2nn
Como l(e/2r)^1/nto1 e
n^1-2nn = n^1/n;n^-2 longrightarrow 1cdot n^-2 longrightarrow 0,
segue que
L = 0 < 1

Passo 4

Pelo teste da raiz, se L<1 a série converge absolutamente. Logo a série original converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyen^2nn2 converge (absolutamente).

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