Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty e^3 n(n+1)!

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar a convergência da série
sumn=1^infty e^3n(n+1)!.
O conteúdo que vamos usar é o Teste da Razão, que é muito eficaz sempre que aparecem fatoriais em n.

Passo 2

Denotando
an = e^3n(n+1)!,
calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = dfrace^3(n+1)(n+2)!dfrace^3n(n+1)! = e^3n+2
Ao levar ntoinfty, fica claro que
limntoinftyan+1an=0

Passo 3

Pelo Teste da Razão, se
L = limntoinftyl|an+1anr|<1,
então a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, portanto a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty e^3n(n+1)! converge absolutamente e, consequentemente, converge.

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