Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty(n2+n^2)^5 n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty(n2+n^2)^5n
converge ou diverge. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da raiz.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an = (n2+n^2)^5n
O teste da raiz consiste em calcular
L = limntoinfty raiz[n]|an|

Passo 3

Note que
raiz[n]|an| =(n2+n^2)^5
portanto
L = limntoinfty(n2+n^2)^5

Passo 4

Para ntoinfty temos
n2+n^2 = 1n,11+2/n^2 ;longrightarrow;0,
logo
L = 0^5 = 0

Passo 5

Como L = 0 < 1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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