Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. No caso da série ser convergente, diga se ela é absolutamente convergente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos \left(n^{3}\right)}{n!}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos\bigl(n^{3}\bigr)}{n!}.
O conteúdo da matéria envolve testes de convergência de séries numéricas, em particular convergência absoluta e o teste da comparação.

Passo 2

Para estudar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty}\left|\frac{\cos\bigl(n^{3}\bigr)}{n!}\right|.
Como \bigl|\cos(n^{3})\bigr|\le1 para todo n, vale
\left|\frac{\cos\bigl(n^{3}\bigr)}{n!}\right|\le\frac{1}{n!}.

Passo 3

A série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}
é convergente, pois é parte da expansão de e (ou pode-se aplicar o teste da razão, obtendo razão 1/(n+1)\to0<1). Pelo critério da comparação, segue que
\sum_{n=2}^{\infty}\left|\frac{\cos\bigl(n^{3}\bigr)}{n!}\right|
também converge.

Resposta

A série é absolutamente convergente e, portanto, convergente.

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