Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. No caso da série ser convergente, diga se ela é absolutamente convergente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \arctan (n)}{n^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\,\arctan(n)}{n^{2}}
e, caso ela seja convergente, determinar se é absolutamente convergente. Para isso vamos usar:
  • o conceito de convergência absoluta, isto é, convergência da série dos valores absolutos;
  • o teste da comparação para séries positivas (ou p-séries);
  • o fato de que \arctan(n) é limitado por \pi/2.

Passo 2

Analisamos a série dos valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n}\,\arctan(n)}{n^{2}}\biggr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{n^{2}}.
Como para todo n vale
0\le \arctan(n)\le \frac{\pi}{2},
temos
0\le \frac{\arctan(n)}{n^{2}}\le \frac{\pi/2}{n^{2}}.
Sabemos que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\pi/2}{n^{2}} =\frac{\pi}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge (p-série com p=2>1). Pelo teste da comparação, segue que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{n^{2}}
converge também.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. A convergência absoluta implica convergência simples.

Resposta

A série converge absolutamente.

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