Em cada um dos itens abaixo, diga se o teste da razão é aplicável para garantir a convergência ou a divergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdot \cdot \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot(2 n)}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o teste da razão consegue garantir convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}.
Esse teste consiste em calcular
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
e analisar se L<1, L>1 ou L=1.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}{\prod_{k=1}^{n}(2k)}
e escrevemos o termo seguinte
a_{n+1} = \frac{\prod_{k=1}^{n+1}(2k-1)}{\prod_{k=1}^{n+1}(2k)} = \frac{\bigl(\prod_{k=1}^{n}(2k-1)\bigr)\,(2n+1)}{\bigl(\prod_{k=1}^{n}(2k)\bigr)\,(2n+2)}.

Passo 3

Formamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{\bigl(\prod_{k=1}^{n}(2k-1)\bigr)\,(2n+1)}{\bigl(\prod_{k=1}^{n}(2k)\bigr)\,(2n+2)}} {\displaystyle\frac{\prod_{k=1}^{n}(2k-1)}{\prod_{k=1}^{n}(2k)}} = \frac{2n+1}{2n+2}.

Passo 4

Simplificamos a expressão da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2n+1}{2n+2}.

Passo 5

Calculamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+2} = 1.

Passo 6

Como o teste da razão exige L<1 para convergência absoluta ou L>1 para divergência, o caso L=1 é inconclusivo.

Resposta

O teste da razão não é aplicável, pois o limite da razão é 1 e, portanto, o teste é inconclusivo.

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