7- A série
é convergente. Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para justificar sua convergência. O conteúdo aqui é séries numéricas, em especial séries geométricas, que convergem sempre que a razão absoluta satisfaz
. Vamos usar essa propriedade e a linearidade de séries para resolver.
Passo 2
Pela propriedade distributiva da soma, podemos separar a série em duas:
Passo 3
Cada uma dessas duas somas é uma série geométrica do tipo
que converge se e somente se
.
- Para
temos e , com , logo ela converge. - Para
temos e , com , então ela também converge.
Passo 4
Pela linearidade de séries, a soma de duas séries convergentes é convergente. Portanto
é convergente.
Resposta
A série converge porque se decompõe em duas séries geométricas de razão
e
, ambas com
.