7- A série sumn=1^infty(12^n+13^n) é convergente. Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^inftyl(tfrac12^n+tfrac13^nr)
e pede para justificar sua convergência. O conteúdo aqui é séries numéricas, em especial séries geométricas, que convergem sempre que a razão absoluta satisfaz |r|<1. Vamos usar essa propriedade e a linearidade de séries para resolver.

Passo 2

Pela propriedade distributiva da soma, podemos separar a série em duas:
sumn=1^inftyl(tfrac12^n+tfrac13^nr) = sumn=1^inftytfrac12^n + sumn=1^inftytfrac13^n

Passo 3

Cada uma dessas duas somas é uma série geométrica do tipo
sumn=1^inftyar^n,
que converge se e somente se |r|<1.
  • Para sumn=1^inftytfrac12^n temos a=tfrac12 e r=tfrac12, com |r|<1, logo ela converge.
  • Para sumn=1^inftytfrac13^n temos a=tfrac13 e r=tfrac13, com |r|<1, então ela também converge.

Passo 4

Pela linearidade de séries, a soma de duas séries convergentes é convergente. Portanto
sumn=1^inftyl(tfrac12^n+tfrac13^nr)
é convergente.

Resposta

A série converge porque se decompõe em duas séries geométricas de razão tfrac12 e tfrac13, ambas com |r|<1.

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