Considere os conjuntos
A=z in C mid Re(z)=Im(z) e B=z in C mid Im(z) >= 0 e |z|=1
Determine as imagens de A e B pelas funções a seguir.
f(z)=barz

Passo 1

O exercício pede para encontrar as imagens dos conjuntos A e B pela função f(z)=\overline{z}, que é a conjugação de um número complexo. Vamos precisar usar a propriedade de que, se z=x+iy, então \overline{z}=x-iy, e interpretar geometricamente as condições de A e B.

Passo 2

Começando por A={z\in\mathbb{C}\mid\Re(z)=\Im(z)}. Escrevendo z=x+ix (pois x=Re(z)=Im(z)), temos
f(z)=z=x-ix
Logo, se w=\overline{z}, então w=x-ix e, chamando w=u+iv, temos u=x e v=-x, ou seja,
v=-u
Isto mostra que f(A)={w\in\mathbb{C}\mid\Im(w)=-\Re(w)}, que é a reta passando pela origem com inclinação -1.

Passo 3

Agora para B={z\in\mathbb{C}\mid|z|=1,\Im(z)\ge0}. Qualquer z\in B pode ser escrito como z=e^{i\theta} com \theta\in[0,\pi]. Então
f(z)=z=e^-itheta
Como \theta percorre [0,\pi], o argumento -\theta percorre [0, -\pi], equivalendo à parte inferior do círculo unitário (incluindo eixos reais). Portanto f(B)={w\in\mathbb{C}\mid|w|=1,\Im(w)\le0}.

Resposta

f(A)={w\in\mathbb{C}\mid\Im(w)=-\Re(w)}, reta com inclinação -1; f(B)={w\in\mathbb{C}\mid|w|=1,\Im(w)\le0}, semicircunferência inferior do círculo unitário.

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