Determine, caso existam, todos os valores reais de
para os quais a série
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores reais de
para os quais a série
é convergente.
Informações relevantes dadas:
A série é de termos positivos (para
temos
).
A soma começa em
.
O parâmetro
é um número real que devemos encontrar as faixas onde a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: verificar que a sequência de termos
é positiva e monotonicamente decrescente (para
). Isso nos permite usar testes que exigem monotonicidade (por exemplo, o teste da condensação de Cauchy). Vou mostrar que
é decrescente passando para a função contínua
e calculando sua derivada. Seja
Diferenciando,
Logo
Para
temos
, então
para qualquer
real suficientemente grande em magnitude? Na verdade o fator entre parênteses é sempre
e, independentemente de
, o produto com o sinal negativo torna
para todo
salvo caso degenerado de expressão não definida (não ocorre aqui). Em particular, para
temos
. Portanto
é decrescente em
e, consequentemente,
é decrescente para
.
(Resumo:
e
decresce, condição satisfeita para usar o teste da condensação de Cauchy.)
Passo 3
Vou aplicar o teste da condensação de Cauchy. Enunciado do teste (versão que usamos):
se é uma sequência positiva e decrescente, então a série
converge se, e somente se, a série
se
converge.
Aqui tomamos
. Calculamos o termo condensado:
Portanto a série condensada é (escrevo sem o fator constante separado):
Passo 4
Agora analisamos a série condensada conforme o valor de
.
Caso 1:
. Então
. Assim
é uma sequência exponencial decrescente: existe
tal que
. Para todo
temos
e
é uma série geométrica convergente (razão
). Por comparação,
converge. Logo a série condensada converge, e pelo teste da condensação a série original
converge quando
.
(Observação prática: uma outra maneira simples para
é comparar diretamente com a p-série: para
temos
, então
. Como
converge para
, a série original também converge.)
Caso 2:
. Então
e
Assim a série condensada é
que é uma constante times a série harmônica, e portanto diverge. Pelo teste da condensação, a série original diverge quando
.
Caso 3:
. Então
, logo
cresce exponencialmente com
. Assim
portanto os termos do somatório condensado não tendem a zero; a série condensada diverge (os termos não vão para zero já garantem divergência). Consequentemente a série original diverge quando
.
Passo 5
Conclusão lógica das três análises: a série
converge exatamente quando
, e diverge para
.
Um jeitinho mental para fixar: o fator
no denominador não é suficiente para fazer convergir quando o expoente
fica em
(o caso
ainda diverge), mas se
ultrapassa
então a queda em
já é forte o bastante e a série converge.
Resposta
A série converge se, e somente se,
.
Diverge para .
Diverge para