Verifique se as séries abaixo são séries telescópicas e determine se elas são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a série
é uma série telescópica; (2) determinar se essa série é convergente.
Informações dadas: temos a sequência de termos gerais para
. Não há outras hipóteses escondidas — cada razão
é positiva, então o logaritmo natural está bem definido.
Informações dadas: temos a sequência de termos gerais
Passo 2
Uma identidade útil e simples de logaritmos é
válida sempre que
e
. Vou aplicar essa identidade ao termo geral
. Como
e
, podemos escrever
Isto transforma cada termo em uma diferença de dois logaritmos consecutivos — sinal clássico de série telescópica.
Passo 3
Definimos a soma parcial de ordem
como
Substituindo a expressão da diferença de logaritmos obtemos
Passo 4
Agora vou expandir as primeiras parcelas para ver o cancelamento (telescópio):
Observe o cancelamento em cadeia:
aparece com sinal
no primeiro parêntese e com sinal
no segundo;
aparece com
e
e assim por diante. Tudo cancela, sobrando apenas os extremos:
Como
, isso simplifica para
Isso confirma que a série é telescópica: as somas parciais reduzem-se a uma expressão simples dependente só de
.
Passo 5
Para decidir convergência, estudamos o comportamento de
quando
. Sabemos que
quando
. Portanto
Como as somas parciais não tendem a um número finito, a série não converge. Na verdade, ela diverge para
. (Observação didática: apesar de
quando
, isso não garante convergência da série; é apenas uma condição necessária, não suficiente.)
Resposta
Telescópica: sim.
Convergência: diverge; as somas parciais são e
quando
.
Convergência: diverge; as somas parciais são