Verifique se as séries abaixo são séries telescópicas e determine se elas são convergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) verificar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n}{n+1}\right) é uma série telescópica; (2) determinar se essa série é convergente.
Informações dadas: temos a sequência de termos gerais a_n=\ln\!\left(\frac{n}{n+1}\right) para n=1,2,\dots. Não há outras hipóteses escondidas — cada razão n/(n+1) é positiva, então o logaritmo natural está bem definido.

Passo 2

Uma identidade útil e simples de logaritmos é
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln A - \ln B,
válida sempre que A>0 e B>0. Vou aplicar essa identidade ao termo geral a_n. Como n>0 e n+1>0, podemos escrever
a_n=\ln\!\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n - \ln(n+1).
Isto transforma cada termo em uma diferença de dois logaritmos consecutivos — sinal clássico de série telescópica.

Passo 3

Definimos a soma parcial de ordem N como
S_N=\sum_{n=1}^{N} \ln\!\left(\frac{n}{n+1}\right).
Substituindo a expressão da diferença de logaritmos obtemos
S_N=\sum_{n=1}^{N}\big(\ln n - \ln(n+1)\big).

Passo 4

Agora vou expandir as primeiras parcelas para ver o cancelamento (telescópio):
\begin{aligned} S_N &= (\ln 1 - \ln 2) + (\ln 2 - \ln 3) + (\ln 3 - \ln 4) + \cdots + (\ln N - \ln(N+1)). \end{aligned}
Observe o cancelamento em cadeia: \ln 2 aparece com sinal - no primeiro parêntese e com sinal + no segundo; \ln 3 aparece com - e + e assim por diante. Tudo cancela, sobrando apenas os extremos:
S_N=\ln 1 - \ln(N+1).
Como \ln 1=0, isso simplifica para
S_N=-\ln(N+1).
Isso confirma que a série é telescópica: as somas parciais reduzem-se a uma expressão simples dependente só de N.

Passo 5

Para decidir convergência, estudamos o comportamento de S_N quando N\to\infty. Sabemos que \ln(N+1)\to\infty quando N\to\infty. Portanto
S_N=-\ln(N+1)\longrightarrow -\infty\quad\text{quando }N\to\infty.
Como as somas parciais não tendem a um número finito, a série não converge. Na verdade, ela diverge para -\infty. (Observação didática: apesar de a_n=\ln\!\left(\frac{n}{n+1}\right)\to 0 quando n\to\infty, isso não garante convergência da série; é apenas uma condição necessária, não suficiente.)

Resposta

Telescópica: sim.
Convergência: diverge; as somas parciais são S_N=-\ln(N+1) e S_N\to -\infty quando N\to\infty.

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