Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge, usando o Critério de Leibniz. Informações dadas que vamos usar:
- O termo geral é
. - A parte alternante é
. - A parte de módulo (positiva) é
.
A tarefa é checar as condições do Critério de Leibniz para a sequênciae concluir sobre a convergência da série alternada.
Passo 2
Vou lembrar o que diz o Critério de Leibniz (explicando em miúdos):
- Se tivermos uma série alternada da forma
com , - e se as duas condições abaixo forem satisfeitas:
-
é monotonicamente não crescente a partir de algum (ou seja, para todo grande o suficiente); -
;
-
- então a série converge (essa é a conclusão do Critério de Leibniz).
Explicando cada condição: a primeira garante que os termos em módulo vão diminuindo (não ficam pulando para cima e para baixo), e a segunda garante que os termos vão para zero — sem isso a soma não pode estabilizar. Agora aplicamos isso a
.
Passo 3
Verificamos que
para todo
. Agora checamos se
é decrescente. Calculo a razão entre termos consecutivos:
Para todo
temos
, portanto
Como a razão é menor que
já para
e continua menor que
para todo
, concluímos que
para todo
. Logo
é estritamente decrescente.
Passo 4
Agora verificamos o limite de
. Queremos mostrar que
Uma justificativa simples: da expressão do passo anterior temos
ou seja, as razões ficam próximas de
, o que implica que
tende a zero (sequências cujo quociente entre termo seguinte e termo anterior converge para número menor que 1 tendem a zero). Outra maneira intuitiva: exponencial cresce muito mais rápido que polinômio, então
domina
e faz o quociente ir a zero. Portanto
Passo 5
Tendo verificado que
, que
é decrescente e que
, todas as hipóteses do Critério de Leibniz estão satisfeitas. Pelo Critério de Leibniz concluímos que a série
converge.
Passo 6
Bônus didático (útil para prova): frequentemente é interessante saber se a convergência é absoluta. Considerando a série dos módulos,
podemos aplicar o teste da razão: já calculamos
portanto a série dos módulos converge. Assim a série original converge absolutamente, o que é uma conclusão mais forte do que apenas “converge” pelo Critério de Leibniz.
Resposta
A série
converge (convergência absoluta).