Usando o Critério de Leibniz, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{n}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot\frac{n}{10^{n}}
converge ou diverge, usando o Critério de Leibniz. Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral é (-1)^{n}\cdot\frac{n}{10^{n}}.
  • A parte alternante é (-1)^{n}.
  • A parte de módulo (positiva) é a_n=\frac{n}{10^{n}}.
    A tarefa é checar as condições do Critério de Leibniz para a sequência (a_n) e concluir sobre a convergência da série alternada.

Passo 2

Vou lembrar o que diz o Critério de Leibniz (explicando em miúdos):
  • Se tivermos uma série alternada da forma \sum (-1)^{n} a_n com a_n\ge 0,
  • e se as duas condições abaixo forem satisfeitas:
    1. \{a_n\} é monotonicamente não crescente a partir de algum n (ou seja, a_{n+1}\le a_n para todo n grande o suficiente);
    2. \lim_{n\to\infty} a_n = 0;
  • então a série converge (essa é a conclusão do Critério de Leibniz).
Explicando cada condição: a primeira garante que os termos em módulo vão diminuindo (não ficam pulando para cima e para baixo), e a segunda garante que os termos vão para zero — sem isso a soma não pode estabilizar. Agora aplicamos isso a a_n=\dfrac{n}{10^{n}}.

Passo 3

Verificamos que a_n=\dfrac{n}{10^{n}}>0 para todo n. Agora checamos se \{a_n\} é decrescente. Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{n+1}{10^{\,n+1}}}{\dfrac{n}{10^{n}}} =\frac{n+1}{10n} =\frac{1+\tfrac{1}{n}}{10}.
Para todo n\ge 1 temos 1+\tfrac{1}{n}\le 2, portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{10}\le\frac{2}{10}=0,2<1.
Como a razão é menor que 1 já para n=1 e continua menor que 1 para todo n, concluímos que a_{n+1}<a_n para todo n. Logo \{a_n\} é estritamente decrescente.

Passo 4

Agora verificamos o limite de a_n. Queremos mostrar que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{10^{n}}=0.
Uma justificativa simples: da expressão do passo anterior temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}\longrightarrow\frac{1}{10}\quad\text{quando }n\to\infty,
ou seja, as razões ficam próximas de 1/10<1, o que implica que a_n tende a zero (sequências cujo quociente entre termo seguinte e termo anterior converge para número menor que 1 tendem a zero). Outra maneira intuitiva: exponencial cresce muito mais rápido que polinômio, então 10^{n} domina n e faz o quociente ir a zero. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Passo 5

Tendo verificado que a_n\ge 0, que \{a_n\} é decrescente e que \lim_{n\to\infty}a_n=0, todas as hipóteses do Critério de Leibniz estão satisfeitas. Pelo Critério de Leibniz concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot\frac{n}{10^{n}}
converge.

Passo 6

Bônus didático (útil para prova): frequentemente é interessante saber se a convergência é absoluta. Considerando a série dos módulos,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{10^{n}},
podemos aplicar o teste da razão: já calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{10}<1,
portanto a série dos módulos converge. Assim a série original converge absolutamente, o que é uma conclusão mais forte do que apenas “converge” pelo Critério de Leibniz.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot\frac{n}{10^{n}} converge (convergência absoluta).

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