- Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
b)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu use o teste da raiz para concluir se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo. Informação relevante extraída do enunciado:
- O termo geral é
. - Todos os termos são não negativos para
(pois a partir de , com ).
Passo 2
Vou explicar o teste da raiz de forma didática. Para uma série
(com
reais ou complexos), define-se
As conclusões do teste da raiz são:
- Se
, a série converge absolutamente (portanto converge). - Se
, a série diverge (os termos não tendem a zero exponencialmente). - Se
, o teste é inconclusivo (não permite decidir).
Intuição simples: se, então para grande se comporta como . Se os termos caem como uma progressão geométrica e somam; se crescem e não somam.
Passo 3
Identifico o termo geral da nossa série e escrevo-o numa forma mais manejável. O termo dado é
Note que
. Assim
Passo 4
Aplico o teste da raiz, isto é, calculo
. Como os termos são não negativos, posso tirar raiz
-ésima diretamente:
Mostrei passo a passo:
e
.
Passo 5
Agora preciso do limite (ou limsup) quando
de
. Vou calcular
Explicando por que esse limite é
: a função
cresce mais devagar que qualquer potência positiva
para
. Uma demonstração rápida usa a regra de l’Hôpital (substituindo
por uma variável contínua
):
é uma forma
, então aplico l’Hôpital:
Portanto
Assim o valor do
do teste da raiz é
.
Passo 6
Concluo usando o teste da raiz: como
, a série
converge absolutamente. Como os termos são não negativos, isso implica que a série converge (simplesmente convergente e também absolutamente convergente).
Resposta
A série converge (convergência absoluta).