1. Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
b) \quad \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\ln (n))^{n}}{\sqrt{n^{n}}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(\ln(n))^{n}}{\sqrt{n^{n}}}
e pede que eu use o teste da raiz para concluir se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo. Informação relevante extraída do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(\ln(n))^{n}}{\sqrt{n^{n}}}.
  • Todos os termos são não negativos para n\ge1 (pois \ln(n)\ge0 a partir de n\ge1, com \ln(1)=0).

Passo 2

Vou explicar o teste da raiz de forma didática. Para uma série \sum a_n (com a_n reais ou complexos), define-se
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
As conclusões do teste da raiz são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1, a série diverge (os termos não tendem a zero exponencialmente).
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não permite decidir).
    Intuição simples: se \sqrt[n]{|a_n|}\to L, então para n grande a_n se comporta como L^n. Se L<1 os termos caem como uma progressão geométrica e somam; se L>1 crescem e não somam.

Passo 3

Identifico o termo geral da nossa série e escrevo-o numa forma mais manejável. O termo dado é
a_n=\frac{(\ln(n))^{n}}{\sqrt{n^{n}}}.
Note que \sqrt{n^{n}}=(n^{n})^{1/2}=n^{n/2}. Assim
a_n=\frac{(\ln(n))^{n}}{n^{n/2}}.

Passo 4

Aplico o teste da raiz, isto é, calculo \sqrt[n]{a_n}. Como os termos são não negativos, posso tirar raiz n-ésima diretamente:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{(\ln(n))^{n}}{n^{n/2}}} = \frac{\ln(n)}{n^{1/2}}.
Mostrei passo a passo: \sqrt[n]{(\ln n)^n}=\ln n e \sqrt[n]{n^{n/2}}=n^{1/2}.

Passo 5

Agora preciso do limite (ou limsup) quando n\to\infty de \dfrac{\ln(n)}{n^{1/2}}. Vou calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}.
Explicando por que esse limite é 0: a função \ln x cresce mais devagar que qualquer potência positiva x^{\alpha} para \alpha>0. Uma demonstração rápida usa a regra de l’Hôpital (substituindo n por uma variável contínua x):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1/2}}
é uma forma \frac{\infty}{\infty}, então aplico l’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1/2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{(d/dx)\ln x}{(d/dx)x^{1/2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\tfrac{1}{2}x^{-1/2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}=0.
Assim o valor do L do teste da raiz é L=0.

Passo 6

Concluo usando o teste da raiz: como L=0<1, a série \sum a_n converge absolutamente. Como os termos são não negativos, isso implica que a série converge (simplesmente convergente e também absolutamente convergente).

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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