Verifique se as séries convergem ou divergem. Justifique.
sumn=2^infty (arctg(n)-ln (n))^2n^2+1;

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos saber se a série
sumn=2^infty an, an = l(arctan(n)-ln(n)r)^2n^2+1
converge ou diverge.
O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, em especial o critério de comparação (limite) e o reconhecimento de que séries do tipo sum (ln n)^2 / n^2 são convergentes.

Passo 2

Analisamos o comportamento assintótico de arctan(n)-ln(n) quando ntoinfty.
Sabemos que
limntoinftyarctan(n)=pi2 e limntoinftyln(n)=infty,
logo para n grande ln(n) domina e
arctan(n)-ln(n)sim -ln(n)
Em particular l(arctan(n)-ln(n)r)^2sim (ln(n))^2.

Passo 3

Aplicamos o critério da comparação de limite com a série de termos
bn = (ln(n))^2n^2
Calculamos
limntoinftyanbn = limntoinfty l(arctan(n)-ln(n)r)^2/(n^2+1) (ln(n))^2/n^2 = limntoinfty l(arctan(n)-ln(n)r)^2(ln(n))^2 cdotn^2n^2+1
Já vimos que arctan(n)/ln(n)to0, logo
arctan(n)-ln(n)ln(n) to -1 Rightarrow l(arctan(n)-ln(n)r)^2(ln(n))^2to1, n^2n^2+1to1
Portanto
limntoinftyanbn=1com 0<1<infty,
e o critério de comparação de limite diz que sum an e sum bn convergem ou divergem conjuntamente.

Passo 4

Basta notar que a série
sumn=2^infty bn = sumn=2^infty(ln(n))^2n^2
é convergente. Por exemplo, pelo teste da integral avaliamos
integral2^infty(ln x)^2x^2,dx,
que, com a substituição t=ln x, dt=dx/x, transforma-se em
integralln2^inftyt^2e^-tdt, e essa integral é finita.
Logo sum bn converge, e pelo passo anterior sum an também converge.

Resposta

A série sumn=2^infty(arctan(n)-ln(n))^2n^2+1 converge.

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