Verifique se as séries convergem ou divergem. Justifique.
;
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos saber se a série
converge ou diverge.
O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, em especial o critério de comparação (limite) e o reconhecimento de que séries do tipo são convergentes.
O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas, em especial o critério de comparação (limite) e o reconhecimento de que séries do tipo
Passo 2
Analisamos o comportamento assintótico de
quando
.
Sabemos que
Sabemos que
logo para
grande
domina e
Em particular
.
Passo 3
Aplicamos o critério da comparação de limite com a série de termos
Calculamos
Já vimos que
, logo
Portanto
e o critério de comparação de limite diz que
e
convergem ou divergem conjuntamente.
Passo 4
Basta notar que a série
é convergente. Por exemplo, pelo teste da integral avaliamos
que, com a substituição
,
, transforma-se em
, e essa integral é finita.
Logo converge, e pelo passo anterior
também converge.
Logo
Resposta
A série
converge.