Verifique se as séries convergem ou divergem. Para as séries convergentes determine sua soma.
R:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
e, se ela convergir, determinar sua soma. O conteúdo que vamos usar é a técnica de séries telescópicas via decomposição em frações parciais.
Passo 2
Fazendo a decomposição em frações parciais, procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Igualando coeficientes em
e termo constante:
Daí
e
, logo
e
. Assim
Passo 3
Escrevemos a soma parcial até
:
Ao expandir, vemos o cancelamento telescópico:
Passo 4
Fazendo
, o termo
tende a zero. Portanto
Logo a série converge e sua soma vale
.
Resposta
A série converge e