Verifique se as séries convergem ou divergem. Para as séries convergentes determine sua soma.
sumn=1^infty(1(4 n+3)(4 n-1)) R: 112

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty1(4n+3)(4n-1)
e, se ela convergir, determinar sua soma. O conteúdo que vamos usar é a técnica de séries telescópicas via decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazendo a decomposição em frações parciais, procuramos constantes A e B tais que
1(4n-1)(4n+3) =A4n-1+B4n+3
Multiplicando ambos os lados por (4n-1)(4n+3), obtemos
1 = A(4n+3)+B(4n-1) = 4n(A+B)+(3A - B)
Igualando coeficientes em n e termo constante:
A+B=0, 3A - B = 1
Daí B=-A e 4A=1, logo A=tfrac14 e B=-tfrac14. Assim
1(4n-1)(4n+3) =14l(14n-1-14n+3r)

Passo 3

Escrevemos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N1(4n-1)(4n+3) =14sumn=1^Nl(14n-1-14n+3r)
Ao expandir, vemos o cancelamento telescópico:
SN = 14l(13-17+17-111+111-cdots-14N+3r) =14l(13-14N+3r)

Passo 4

Fazendo Ntoinfty, o termo tfrac14N+3 tende a zero. Portanto
sumn=1^infty1(4n+3)(4n-1) =limNtoinftySN =14cdot13 =112
Logo a série converge e sua soma vale tfrac112.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1(4n+3)(4n-1) = 112

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